Komplex számok

Az emberi számfogalom kiterjesztése természetes folyamat, ami általában ugyanarra a sémára épül: elindulunk egy elemibb fogalomból (pl. természetes szám), definiálunk rajta valamilyen értelmes műveletet (pl. összeadás), majd megállapítjuk, hogy a művelet elvégzésekor, vagy “visszacsinálásakor” kitörünk a korábbi halmazból (nincs olyan természetes szám, amit az 5-höz adva 3-at kapunk). Ekkor kibővítjük a halmazt, úgy, hogy a fenti ne okozzon problémát (az egész számok halmazán már gond nélkül összeadhatunk és kivonhatunk bármit). Aztán a következő szinten megint szembesülünk a problémával (bevezetjük a szorzást, és szeretnénk visszacsinálni, de nincs olyan egész szám, amivel a 15-öt megszorozva 5-öt kapnánk), és a folyamat kezdődik elölről. Ezzel a logikával középiskolában az - ott igazából általában még nem is pontosan definiált - valós szám fogalmához szoktak eljutni. Nekünk azonban szükségünk lesz egy újabb, fentihez hasonló kiterjesztésre, amit az fog motiválni, hogy negatív számoknak nincsen négyzetgyöke a valósak körében. Így jutunk el a komplex számok fogalmához, mely rengeteg matematikai területen – így a statisztikában is – szerephez jut, számos műszaki, mérnöki, közgazdaságtudományi és természettudományi alkalmazáson túl. Megvizsgáljuk a komplex számok fogalmát, a komplex számokkal végezhető műveleteket, függvényeiket és a komplex számok különféle lehetséges alakjait (algebrai, trigonometrikus, exponenciális, ez utóbbi kapcsán megismerjük a nevezetes Euler-formulát). Az egyes alakok más és más művelet elvégzését teszik kényelmesen lehetővé. Megnézzük a komplex számok két alkalmazását: egyrészt, hogy hogyan használhatóak szinusz-szerű függvények (szinuszoidok) reprezentálására, ennek alkalmazási lehetőségeire az ún. rendszerelmélet kapcsán több nagy esettanulmányt is átveszünk, másrészt, hogy miért és hogyan jelennek meg komplex számok algebrai egyenletek megoldásaként (vagy, ami ezzel egyenértékű, polinomok gyökeiként). Zárásként röviden beszélünk a kvaterniókról és az emberi számfogalom végső lezárásáról.